Cách giải phương trình sai phân

I. Các có mang cơ bạn dạng 1. Hàm số đối số ngulặng Hàm gồm tập xác minh thuộc Z hotline là hàm số tất cả đối số nguim. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không nên phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số trên nhì quý giá kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp m của hàm số Un là sai phân của sai...

Bạn đang xem: Cách giải phương trình sai phân


CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các có mang cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm tất cả tập xác định ở trong Z Call là hàm số có đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = simãng cầu (a là hằng số)2. Định nghĩa không đúng phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số trên nhì quý giá tiếp đến nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp m của hàm số Un là không đúng phân của không đúng phân cấp cho m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn không nên phân cấp cho 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương trường đoản cú ta hoàn toàn có thể màn trình diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT với hàm số đề xuất tìm kiếm là một trong những hàm đối số rời rộc f (n) = Un tất cả mặtbên dưới dạng không nên phân những cấp.PT không đúng phân cấp cho m gồm dạng tổng quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay rất có thể viết dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT không đúng phân là hàm số đối số tách rộc rạc Un =f(n) mà lại Lúc gắng Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng điệu thức trên tập phù hợp những số nguyên n0.Nghiệm tổng thể của một PT không đúng phân cấp n tất cả dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) trong đóC1, C2,...,Cn là các hằng số bất cứ, Lúc gán cho từng kí từ C1, C2,...,Cn một số xác địnhta được một nghiệm riêng biệt của PT.PT sai phân Ôtônôm là PT tất cả dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không đúng phân đường tính1. Pmùi hương trình không đúng phân con đường tính cung cấp 1Định nghĩa: Là phương trình tất cả dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong số đó an, bn, fn là các hàm đối số ngulặng. Un cùng Un+1 là hai cực hiếm kề nhau của hàmUn đối số ngulặng nên tìm kiếm.Nếu an cùng bn là các hằng số thì ta tất cả phương trình sai phân thông số hằng.Phương thơm trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) Điện thoại tư vấn là phương thơm trình thuần độc nhất tương xứng của (1).Ví dụ:Một quý khách hàng gồm số tiền là A đồng, mang gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí, lãi xuất hàng tháng là 1%.Lập quy mô về tình trạng chi phí vốn của người tiêu dùng. 1Ta tất cả un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương trình không nên phân cấp caoa. Phương thơm trình không nên phân cấp cho 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn và cn là các hằng số thì ta bao gồm pmùi hương trình sai phân thông số hằng.Nếu fn = 0 thì ta tất cả phương trình thuần tốt nhất liên kếrã.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một trong những nghiệm của PT sai phân đường tính ko thuần độc nhất và U1n, U2n là 2nghiệm chủ quyền tuyến đường tính của PT thuần độc nhất vô nhị liên kết thì nghiệm tổng quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã cho Fibonacci một bài bác toán thù nhỏng sau: “Hômni, tín đồ ta khuyến mãi tôi một cặp thỏ. Biết thỏ nhị mon tuổi bắt đầu đẻ với kế tiếp mỗimon đẻ một lứa, mỗi lứa là một cặp thỏ. Hết năm, tôi bao gồm bao nhiêu cặp thỏ ?”Giải: Điện thoại tư vấn Fn là số cặp thỏ giành được sinh hoạt tháng sản phẩm n.Tháng trước gồm Fn-1 cặp, trong những số ấy chỉ bao gồm số thỏ mon trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Phương thơm trình sai phân cấp kLà pmùi hương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không nên phân tuyến đường tính cung cấp 1 thông số hằng1. Pmùi hương trình không đúng phân tuyến tính thuần độc nhất Nghiệm bao quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 dân số thủ đô là một trong,6 triệu con người, tốc độ tăng dân sinh là 1% 1 năm. Hỏisố lượng dân sinh Hà Nội Thủ Đô năm 2050 là bao nhiêu?Giải: hotline un là số lượng dân sinh Thành Phố Hà Nội năm sản phẩm n + 1990 1Ta bao gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Pmùi hương trình không đúng phân con đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) với q 0. PT thuần nhất link Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 nghiệm của PT không đúng phân con đường tính không thuần tuyệt nhất (1) và U1n là mộtnghiệm của PT thuần nhất link (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tra cứu nghiệm riêng của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng rẽ là = qn.IV. Phƣơng trình không đúng phân tuyến đường tính cấp cho 2 hệ số hằng1. Phương thơm trình sai phân tuyến đường tính thuần duy nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn với yn độc lập tuyến tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng rẽ độc lập con đường tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm tổng quát của (3).Chứng minh:Call Un là 1 nghiệm ngẫu nhiên của (3). Ta chứng tỏ rằng tồn tại Au với Bu làm thế nào để cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là những hằng số dựa vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ pmùi hương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm duy nhất Au với Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minc bằng quy hấp thụ, ta tất cả Un = Au.xn + Bu.yn đầy đủ nghiệm của (3) phần đông biểu diễn qua xn và yn đ.p.c.mTa search nghiệm riêng biệt bên dưới dạng xn = λn (λ 0).

Xem thêm: Cách Đặt Chuông Báo Thức Bằng Bài Hát Cho Iphone Miễn Phí 2020



Xem thêm: Cách Chuyển Tiếp Tin Nhắn Trên Facebook Trên Máy Tính, Điện Thoại

Ttuyệt vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Phương thơm trình (4) Gọi là phương trình đặc thù của (3).Trường thích hợp 1: Nếu (4) tất cả nhị nghiệm thực riêng biệt λ1 cùng λ2 (3) có hai nghiệmriêng chủ quyền tuyến đường tính xn = λ1n và yn = λ2n .Nghiệm bao quát Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường hòa hợp 2: Nếu (4) bao gồm nghiệm knghiền là λ0, (3) tất cả hai nghiệm riêng tự do tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm bao quát Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường hòa hợp 3: Nếu (4) bao gồm nhị nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) với cùng với r = A2 + B2 và α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) có hai nghiệm riêng tự do tuyến đường tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm tổng quát Un = rn . 4lấy ví dụ 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Pmùi hương trình đặc trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2Vậy nghiệm tổng quát un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 Hệ pmùi hương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 với B = -1. nVậy nghiệm riêng rẽ thoả nguyện là un = 2 – 2 5lấy ví dụ 2: Tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Pmùi hương trình đặc trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 với λ2 = 2 1Vậy nghiệm bao quát un = A 2n + B.2n. u0 = A + B = 0 Hệ pmùi hương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng buộc phải tìm là un = 3 (2-n – 2n)ví dụ như 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương thơm trình quánh trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm bao quát un = (A + Bn)5nví dụ như 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương thơm trình sệt trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng thể un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ phương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng bắt buộc tra cứu là un = 1 + nlấy một ví dụ 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương thơm trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. n.Vậy nghiệm tổng thể un = Acos 3 + Bsin 3Ví dụ 6: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Pmùi hương trình đặc trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. n.Vậy nghiệm tổng quát un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ phương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 với B = 0. n.Vậy nghiệm riêng rẽ phải kiếm tìm là un = 2n.cos 32. Phương thơm trình sai phân tuyến đường tính không thuần tốt nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ U*n của (5) : ? r+) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng là : U*n = 1pq+) Nếu p+q = -1 rn Lúc p -2 thì nghiệm riêng là : U*n = p2 rn 2 * Khi p = -2 thì nghiệm riêng là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần nhất links ta suy ra nghiệm bao quát của (5).Trường hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét sinh sống dạng bao quát đến PT không đúng phân tuyếntính hệ số hằng cung cấp k.V. Phƣơng trình không đúng phân đường tính cấp cho k thông số hằng.1. Phương thơm trình không đúng phân đường tính thuần độc nhất cấp cho k thông số hằng:Là phương thơm trình bao gồm dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong số đó a0, a1, …, ak là các số thực. 6Ta tra cứu nghiệm riêng dưới dạng Un = λn, cầm cố vào (6) ta tất cả phương trình quánh trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường đúng theo 1: Nếu (7) có k nghiệm thực khác nhau λ1, λ2, … λk ta tất cả k nghiệmriêng rẽ tự do đường tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng quát : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường thích hợp 2:Nếu (7) có nghiệm bội, chẳng hạn λ1 gồm bội s với k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế s nghiệm riêng x1n, x2n, …, xsn khớp ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm bao quát : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường hợp 3: Nếu phương thơm trình (7) bao gồm nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ có được nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) và k-2 nghiệm thực riêng biệt, khiđó tương ứng ta sửa chữa x1n = rn.cosnα cùng x2n = rn.sinnα vào nghiệm bao quát.Nghiệm tổng quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknVí dụ 1: Tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương thơm trình quánh trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 với λ3 = 5Vậy nghiệm tổng thể un = A1.2n + A2.3n + A3.5nlấy ví dụ 2: Tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Phương trình quánh trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 với λ3 = 3Vậy nghiệm tổng thể un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 với C = -5.Vậy nghiệm riêng biệt vừa ý là un = (5 + 3n).2n – 5.3nlấy ví dụ 3: Tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình sệt trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. n.Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Pmùi hương trình không đúng phân đường tính ko thuần tốt nhất cấp k thông số hằngLà phương thơm trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong số đó a0, a1, …, ak là những số thực, fn 0n.Phương trình thuần tốt nhất tương ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm tổng quát của phương thơm trình (8) bởi nghiệm bao quát của phươngtrình (6) cùng với nghiệm riêng rẽ bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng quát của (6) cùng xn là nghiệm riêng rẽ của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.trái lại hiệu 2 nghiệm riêng biệt ngẫu nhiên của (8) cũng chính là nghiệm riêng của (6). Vậynghiệm bao quát của (8) bằng nghiệm bao quát của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng rẽ ngẫu nhiên của (8).Cách kiếm tìm nghiệm riêng rẽ xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường đúng theo 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cung cấp s của phương trình đặc trưng ( s rất có thể thừa nhận quý giá 0) thìnghiệm riêng rẽ gồm dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) và tra cứu ci bằng phươngpháp thông số bất định. Nếu λ = 1 không là nghiệm của pmùi hương trình đặc trưng thì nghiệm riêng biệt có dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 với kiếm tìm Ci bởi phương pháp thông số cô động. fn = Pm(n).βnTrường hợp 2: Nếu λ = β là nghiệm cung cấp s của pmùi hương trình đặc thù (s rất có thể dấn quý giá 0) thìnghiệm riêng bao gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, cầm cố vào phương thơm trình search Qm(n) bởi phươngpháp thông số cô động. Nếu λ = β ko là nghiệm của pmùi hương trình đặc thù thì nghiệm riêng rẽ tất cả dạngxn= Qm(n).βn, nạm vào phương trình search Qm(n) bằng phương pháp hệ số bất định. fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường đúng theo 3: Ta tra cứu nghiệm riêng dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng ứng với f1(n) = Rl(n) (đem đến trường vừa lòng 1) và x2n lànghiệm riêng rẽ ứng với f2(n) = Pm(n).βn (mang đến ngôi trường hòa hợp 2). 5ví dụ như 1: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Pmùi hương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta tra cứu nghiệm riêng biệt dạng xn= an2 + bn+ cTtuyệt vào pmùi hương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. xn = -2n2 + 2n - 10Đồng tuyệt nhất thông số a = -2, b =2 cùng c = -10lấy ví dụ như 2: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương thơm trình đặc thù λ2 –1 = 0 λ1= 1 cùng λ2 = -1 λ = một là nghiệm đối chọi ta search nghiệm riêng dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Txuất xắc vào phương thơm trình a = 1, b = c = 0 5lấy ví dụ như 3: Tìm một nghiệm riêng của phương thơm trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Pmùi hương trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = 2 ta kiếm tìm nghiệm riêng dạng xn= A.3n λ = 3 không là nghiệm 5 2 2Txuất xắc vào phương thơm trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nlấy ví dụ 4: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương thơm trìnhBài làm: Phương thơm trình đặc thù λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 và λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm đối chọi ta kiếm tìm nghiệm riêng rẽ dạng xn= A.n.2n 1 -nThay vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nlấy một ví dụ 5: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 và ví dụ 3 nghiệm riêng rẽ xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không đúng phân 9