Cách Tìm Cực Trị Hàm 2 Biến

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (Linear Algebra)Xác suất thống kêVideo bài giảngThảo luậnThảo luận về giải tíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ở bài này ta chỉ xét cực trị của hàm hai biến z = f(x,y).

Bạn đang xem: Cách tìm cực trị hàm 2 biến

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền D và điểm

1. Định nghĩa:

Ta nói

là điểm cực tiểu (hoặc cực đại), nếu tồn tại _lân cận của sao cho:

(

)

Nếu hàm số f đạt cực đại hay cực tiểu (địa phương) tại

thì ta nói hàm f đạt cực trị (địa phương) tại

Nhận xét:

– Hàm số

đạt cực tiểu (cực đại) tại nếu:

– Nếu

thay đổi dấu khi thay đổi thì hàm số không đạt cực trị tại

Ví dụ: Bạn hãy xét xem hàm số

có đạt cực trị tại M(0;0) hay không?

Xét

là 1 điểm trong lân cận của M(0;0). Ta có:

Với

0 , {\Delta}y > 0 : {\Delta}f(0;0) > 0 " class="latex" />

Với

Vậy

thay đổi dấu nên hàm f không đạt cực trị tại M0.

2. Quy tắc tìm cực trị không điều kiện:

2.1 Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm

đạt cực trị (địa phương) tại và nếu f có các đạo hàm riêng tại thì:

Chứng minh:

Giả sử hàm f đạt cực đại tại

(trường hợp hàm f đạt cực tiểu tại M0 hoàn toàn tương tự ).

Khi đó, xét hàm

ta có: , với x trong 1 khoảng nào đó chứa x0.

Do đó, hàm g(x) đạt cực đại tại x0. Hay:

Mặt khác:

. Vậy:

Tương tự, nếu xét hàm

ta sẽ có:

Điểm

mà tại đó , được gọi là điểm dừng.

Xem thêm: Cách Pha Bột Ăn Dặm Wakodo, Nhanh Chóng, Thơm Ngon Cho Bé

2.2 Định lý (Điều kiện đủ)

Giả sử hàm số

có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng

Đặt:

Khi đó:

a. Nếu

0) thì f đạt cực tiểu tại M0.

b. Nếu

c. Nếu

0 " class="latex" /> thì f không đạt cực trị tại M0.

d. Nếu

ta chưa kết luận và cần phải xét cụ thể bằng cách dựa vào định nghĩa.

Xem thêm: Các Cách Tán Gái Có Người Yêu Rồi, Cách Tán Gái Đã Có Người Yêu Cực Dễ Dàng

Ta công nhận không chứng minh định lý này. Việc chứng minh định lý này, dựa vào việc khai triển Taylor – Maclaurin cho hàm số 2 biến. Khi đó, ta sẽ xét dấu cho vi phân cấp 2 trong khai triển Taylor. Các bạn có thể xem chi tiết chứng minh và công thức Taylor trong giáo trình Toán học Cao cấp (Tập 3) của tác giả Nguyễn Đình Trí. Tuy nhiên, để xem chứng minh 1 cách dễ hiểu nhất, bạn có thể xem trong cuốn Giải tích toán học của tác giả Pixcunop (tập 2).

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số:

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số:

Bình chọn

thưa thầy cho em hỏi bài nì:tìm cực trị của:

Tọa độ điểm dừng là nghiệm hệ:ta tìm được các điểm dừng để đạo hàm riêng kxđ và = 0 là: (0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)Xét dz cho từng trường hợp thì ta có dc là: (0,0) là cực đại, còn lại là cực tiểuMặt khác dễ thấy rằng: là đồ thị là bán cầu tâm O bán kính r =1, nằm phía trên mp xOycó điểm cực đại (0,0) là hoàn toàn chính xác, nhưng các ngoài các điểm (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1) thì tất cả những điểm trên mp xOy đều là cực tiểu hết . Như vậy, thì đồ thị này có qũy tích điểm cực tiểu là đường tròn tâm O bk r =1 nằm trên xOy.Em thấy hai cách giải trên nó mâu thuẫn với nhau về điểm cực tiểu, em không biết cách nào đúng, thầy giúp em với